| Gimnazija, Naloge |
-
1) Za koliko moramo stisniti vzmet na sliki, da bo voziček lahko prišel v kotanjo na drugi strani hriba?
Podatki so: k = 2.0 N/cm, m = 200 g, h1 = 30 cm, h2 = 60 cm, h3 = 40 cm.
Kolikšno hitrost bo imel v kotanji?
Očitno mora voziček od vzmeti dobiti toliko energije oz. začetne hitrosti, da se bo pripeljal do vrha najvišjega klanca. Kot mejni primer izračunamo tako, da bo na vrhu najvišjega klanca hitrost (in kinetična energija) vozička enaka nič.
Ker v tekstu nič ne piše o trenju in zračnem uporu, ju zanemarimo. Res je tudi, da bi se računanje zelooo zakompliciralo, če bi ju ob dani obliki klancev, poskušali upoštevati.
Ker trenja in upora ne upoštevamo, se vsota kinetične, potencialne in prožnostne energije ohranja!
Izhodišče za računanje potencialne energije smemo postavi na poljubno višino. Vzemimo, da ima voziček na začetku potencialno energijo enako nič. Na vrhu najvišjega klanca bo potem imel W(pot) = m * g * (h2-h1) = 0,2 kg * 10 m/s^2 * 0,3 m = 0,6 J.
Ker voziček miruje na začetku (preden sprostimo vzmet) in na vrhu najvišjega klanca, pomeni, da izračunano potencialno energijo na vrhu (0,6 J) dobi na račun prožnostne energije vzmeti W_(prož) = 0,6 J. Prožnostna energija vzmeti je povezana s skrčkom vzmeti x po formuli W(prož) = k*x^2/2. Zato
x = kvadratni koren iz (2 * W(prož)/k ) = kvadratni koren iz (2 * 0,6 J/200 N/m) = 0,077 m = 7,7 cm.
Odgovor: Vzmet moramo stisniti za najmanj 7,7 cm. Če smo čisto natančni, bo pri tem skrčku voziček pripeljal do vrha najvišjega klanca in tam obmiroval. Ob najmanjši motnji se bo zapeljal ali nazaj ali naprej v zadnjo kotanjo. Zato v odgovoru pravimo "najmanj" za 7,7 cm. To je namreč mejni primer. Če vzmet skrčimo za več, gre voziček sigurno v zadnjo kotanjo. Če manj, se pa ne bo uspel povzpeti na najvišji vrh.
Izračunajmo še hitrost v kotanji. Tukaj imamo veliko možnih poti do rezultata. Zdi se mi, da je najhitrejši premislek, ko primerjamo stanje na vrhu hriba in v zadnji kotanji.
Na vrhu hriba ima voziček hitrost in kinetično energijo nič, ter potencialno energijo za W(pot) = m * g * (h2-h3) = 0,2 kg * 10 m/s^2 * 0,2 m = 0,4 J večjo kakor jo bo imel v zadnji kotanji.
Na račun zmanjšanja potencialne energije za 0,4 J bo voziček pridobil prav toliko kinetične energije. Torej je v zadnji kotanji W(kin) = 0,4 J. Ker vemo W(kin) = m*v^2/2, sledi
v = kvadratni koren iz (2*W(kin)/m) = 2 m/s.
2) Na vrhu 50 cm visokega klanca je klada z maso 300 g. Izstrelimo jo po klancu navzdol z vzmetjo s koeficientom 3,0 N/cm, ki smo jo stisnili za 4,0 cm. Klanec je gladek. Ravnina pod klancem ima koeficient trenja 0.20. Na kolikšni razdalji od dna klanca se klada ustavi?
Ko stisnemo vzmet, opravimo delo, ki se shrani v obliki prožnostne energije vzmeti. Ta je enaka W_proz = k*x^2/2, pri čemer je k = 300 N/m in x = 0.04 m.
Ko vzmet sprostimo, se ta energija spremeni v začetno kinetično energijo klade. Zato klada dobi začetno hitrost po klancu navzdol.
Pri gibanju po klancu navzdol klada pridobiva hitrost. S tem pridobiva tudi kinetično energijo. To gre na račun potencialne energije.
Ko klada pride do vznožja klanca, bo njena kinetična energija enaka vsoti:
W_k = W_proz + W_pot = k*x^2/2 + m*g*H = 1.74 J,
kjer smo vzeli m = 0.3 kg, g = 10 m/s^2 in H = 0.5 m.
Potem se klada giblje le še po hrapavi ravnini. Zaradi sile trenja se ustavi na razdalji d, ki jo išemo.
Očitno mora sila trenja (ker je to edina sila, ki zavira gibanje klade) opraviti toliko dela, kakor je kinetična energija klade pred začetkom potovanja po ravnini (1.74 J). Zato:
A_(sile trenja) = 1.74 J.
Sila trenja je pri gibanju po vodoravni podlagi enaka F_tr = k_t * m*g = 0.6 N.
Spomnimo se, da je delo neke sile po velikosti enako produktu velikosti sile in razdalje na kateri ta sila deluje (ce deluje v smeri ali obratni smeri premika, sicer moramo upoštevati še kot med smerjo sile in premikom!). Torej:
A_(sile trenja) = F_tr * d in
d = 1.74 J/0.6 N = 2.9 m.
3) Ali je mogoče izbrati začetno hitrost klade tako, da bo pridrsela do vrha enega klanca, ne pa tudi drugega? Upoštevaj, da so vse podlage enako hrapave, in razdalja od začetne lege klade do začetka klanca v obeh primerih enaka. Rezultat se ne spremeni, če upoštevaš, da je hrapav samo klanec, vodoravna podlaga pred klancem pa gladka.
Vodoravni del očitno ni pomemben. Ker je v obeh primerih enak (enako dolg, enako hrapav ali gladek), se bo hitrost klade v obeh primerih enako zmanjšala.
Potem pa z enakima začetnima hitrostima kladi "zavijeta" v klanec. Tukaj se nam s slike verjetno zdi, da se bo od preveč navpičnega klanca klada kar odbila, ne bo lepo drsela po klancu navzgor. Lahko, da je to celo res, a nas tak primer zdaj ne zanima. Mislimo si, da sta oba klanca rahlo položna z nekoliko različnima nagiboma. Na skici je narisano pretirano strmo, da opazimo razliko.
Najlažje je premisliti, če sta oba klanca gladka. Potem ni zaviralnih sil (če tudi zračni upor zanemarimo). Težo upoštevamo v potencialni energiji in bi v primeru popolnoma gladkih klancev veljalo, da je spremeba potenacialne energije med vrhom in vznožjem klanca enaka spremembi kinetične energije. Ker sta klanca enako visoka, se v obeh primerih potencialna energija spremeni za isto vrednost. Pomeni, da mora pred vznožjem obeh klancev klada imeti na voljo enako količino kinetične energije. V primeru popolnoma gladkih klancev bi torej odgovorili, da NE MOREMO izbrati takšno hitrost, da bi klada šla na en klanec, na drugega pa ne.
Zadeva se spremeni, če sta klanca hrapava. Enako hrapava. Potem se ne bo vsa kinetična energija spremenila v potencialno energijo, pač pa se bo del kinetične energije porabil za delo, ki ga opravlja sila trenja. Delo sile trnja pa je po velikosti enako produktu sile trenja in dolžine poti na kateri sila trenja deluje. Oboje je večje na bolj položnem klancu! Dolžina je očitno večja. Glede velikosti sile trenja pa se spomnimo, da je sila trenja enaka N*kt, kjer je N pravokotna sila podlage. Ta je na klancu, če ni drugih sil na klado kakor teža klade in sila podlage, ter klada drsi po klancu, enaka m*g*cos(naklonskega kota klanca). Kosinus naklonskega kota klanca pa je večji za klanec z manjšim naklonom. Zaključimo:
Pri položnejšem klancu se več kinetične energije porabi za delo trenja, kakor pri enako hrapavem strmejšem klancu. Zato npr. pri zacetni hitrosti klade, ki je izbrana tako, da na strmem klancu ravno pride to vrha, na položnejšem klancu klada ne bo prišla do vrha!
4) Kolikšno delo opravimo, ko napnemo lok, če lahko z njim izstrelimo 65 cm dolgo in 25g težko puščico s hitrostjo 50m/s? Kolikšen bi bil koeficient vzmeti, če bi cel lok obravnavali kot vzmet? Ko lok ni napet je med tetivo in lokom 25cm, puščica pa se dotika obeh. Ko je lok napet, se mora puščica še vedno dotikati obeh.
Puščica očitno pridobi kinetično energijo W_k = m*v^2/2 = 31.25 J. Najmanj toliko dela smo morali opraviti pri napenjanju loka. To je torej odgovor na prvo vprašanje.
Tukaj si je dobro narisati sliko nenapetega loka in največ napetega loka, ko se vrh puščice ravno še dotika loka. Iz slike je očitno, da pri napenjanju loka puščico premaknemo za x = 65 cm - 25 cm = 40 cm. Ker vemo koliko prožnostne energije (31.25 J, to je toliko kot je potem kinetične, ko lok sprostimo), lahko iz enačbe W_proz = k*x^2/2 izračunamo koeficent vzmeti k = 391 N/m.
5) 80 kg težek človek izvede bungee skok z mostu z višino nekaj več kot 60 m. Elastika je dolga 40 m in težka 60 kg. Pred skokom je vsa elastika na mostu. Kolikšna je hitrost (težišča) elastike, ko se ravno še ne začne raztezati? Kolikšen mora biti koeficient vzmeti, da se elastika raztegne največ do dolžine 60 m.
V prvem delu skoka, preden se začne elastika raztegovati, lahko padanje človeka in elastike opišemo kot prosti pad. Človek nič ne vpliva na to, kaj se dogaja z elastiko. Zato si lahko mislimo, da se potencialna energija eleastike (ko je ta na mostu) spremeni v kinetično energijo elastike. Pri spremembi potencialne energije elastike moramo upoštevati za koliko se zniža višina TEŽIŠČA elastike. Hitrost, ki jo bomo dobili, bo hitrost težišča elastike. Torej:
(sprememba) W_k = (sprememba) W_pot
m*v^2/2 = m*g*H,
pri čemer je m masa elastike, g = 10 m/s^2, H = 20 m. Dobimo v = 20 m/s.
Da odgovorimo na drugo vprašanje, premislimo o spremebah energije med začetnim stanjem (ko sta človek in elastika na mostu), ter končnim, ko je elastika maksimalno raztegnjena in človek na koncu elastike, to je 60 m pod mostom.
Človeku se je potencialna energija zmanjšala za m(človek)*g*60 m = 48 000 J. Kinetična energija se mu ni spremenila. Na začetku je miroval na mostu, na koncu (vsaj za trenutek) miruje pri maksimalno raztegnjeni vzmeti.
Elastiki se je potencialna energija zmanjšala za m(elastika)*g*30 m = 18 000 J. Upoštevali smo spremembo višine težišča elastike, kakor je edino prav. Kinetična energija elastike se ni spremenila iz istega razloga kakor pri človeku.
Povečala se je pa prožnostna energija elastike. Na začetku je bila enaka nič (elastika ni bila raztegnjena). Na koncu je enaka k*x^2/, kjer je x raztezek elastike enak x = 60 m - 40 m = 20 m. Prožnostna energija elastike se je povečala ravno za toliko, kolikor sta se skupaj zmanjšali potencialni energiji človeka in elastike, torej za W_proz = 66 000 J.
Iz zveze W_proz = k*x^2/2 izračunamo k = 330 N/m.
6) Na dnu klanca ima klada z maso 200 g hitrost 4,0 m/s. Klada zapelje po klancu navzgor. Ko se nahaja 80 cm više od dna, ima hitrost samo še 1,5 m/s, in je opravila (poševno) pot 160 cm. Ali so zaviralne sile (razen sile teže) med potjo, opisano v besedilu naloge, opravile na kladi delo in če, kolikšno? Pazi na predznak! Kolikšne so bile povprečne zaviralne sile na tej poti, če so bile prisotne?
Če ne bi bilo zaviralnih sil (razen teže) bi se morala kinetična energija klade zmanjšati za toliko, kakor se poveča potencialna energija klade.
Glede na podatke (začetna in končna hitrost), se je kinetična energija zmanjšala za:
Delta W_k = W_k-končna - W_k-začetna = m*v_2^2/2 - m*v_1^2/2 = - 1.375 J.
Potencialna energija se je povečala za:
Delta W_pot = m*g*(h_2 - h_1) = 0.2 kg * 10 m/s^2 * 0.8 m = 1.6 J
To je nemogoče. Potencialna energija bi se lahko povečala kvečemu manj od absolutne vrednosti zmanjšanja kinetične energije. Tako pa zgleda kakor, da ima klada vgrajen motorček, ki jo poganja po klancu. Verjetno so neki podatki narobe prepisani ali pa pramalo preverjeni podatki sestavljalca naloge.
