| Gimnazija, Naloge |
-
1)
Na vodoravni (ne nujno gladki) podlagi imamo v vodoravni smeri vzmet s koeficientom
k = 3,0 N/cm. K njej prislonimo mirujočo klado z maso m = 200 g in vzmet stisnemo za x = 2 cm. Nato
vzmet spustimo, da izstreli klado v vodoravni smeri. Klada pridrvi do vznožja gladkega klanca
s hitrostjo v = 0,60 m/s.
a)Kolikšna je kinetična energija klade na dnu klanca?
Glede na to, da je podana hitrost klade na dnu klanca, je odgovor na to vprašanje preprost. Kinetična energija telesa je vedno eneka:
W(kin) = m*v^2/2 = 0.036 J.
b)Ali je vodoravna podlaga opravila na kladi delo in če, kolikšno? Pazi na predznak!
Če nobena sila (razen vzmeti, ki jo upoštevamo v prožnostni energiji) ne bi opravila dela na kladi, bi morala biti kinetična energija klade na dnu klanca enaka prožnostni energiji vzmeti, ko je le ta najbolj stisnjena. Kinetično energijo smo že izračunali. izračunajmo še prožnostno energijo stisnjene vzmeti. Ta je enaka:
W(prož) = k*x^2/2 = 300 N/m * (0,02 m)^2/2 = 0.06 J.
Vidimo, da je bila bila prožnostna energija vzmeti večja od kinetične energije klade na dnu klanca. To pomeni, da je neka sila (vemo, tukaj je bila to sila trenja) opravila NEGATIVNO (saj se je kladi zaradi nje zmanjšala kinetična energija - ta bi morala biti na popolnoma gladkem klancu enaka 0,06 J) delo!
Odgovor: podlaga je na kladi opravila (končna kinetična - začetna prožnostna energija) 0,036 J - 0,060 J = -0,024 J dela.
c)Kolikšne so bile povprečne zaviralne sile, če so bile prisotne?
Zaviralne sile so bile prisotne. To smo ugotovili pri prejšnji nalogi. Opravile so -0,024 J dela.
Dela zaviralnih sil je negativno, ker delujejo v nasprotni smeri od gibanja telesa. Delo sile, ki deluje v nasprotni smeri gibanja telesa, izračunamo kakor:
A = - F * r,
kjer je F velikost zaviralne sile, r pa pozitivni premik. Sklepam, da v drugem letniku gimnazije še ne poznate skalarnega produkta. Za njim se prejšnji izraz zapiše nekoliko drugače, izračuna pa točno tako, kot tukaj piše.
Gled ena navodila pri tej nalogi ni jasno, za koliko se je klada po vodoravni podlagi premaknila. A je vzmet čisto ob klancu, tako da klada po vodoravni podlagi opravi le 2 cm poti, za kolikor smo stisnili vzmet? Vzmet bi lahko bila bolj oddaljena od dna klanca, a ne piše za koliko.
Zato bomo pri tem zadnjem računu vzeli kakor, da klada po vodoravni podlagi opravi le tista 2 cm, da se vzmet raztegne. Potem je velikost zaviralne sile enaka:
F = - A/r = - (-0,024 J)/0,02 m = 1,2 N.
d)Do katere višine na klancu pride klada?
Podobno vprašanje smo obravnavali že pri teh nalogah. Zato tukaj le končni izračun:
m*v^2/2 = m*g*Delta H,
Delta H = 1,6 cm.
2) Na vzmet s koeficientom k = 2,0 N/cm postavimo kroglico z maso m = 20 g. Vzmet stisnemo za x = 5,0 cm in izstrelimo kroglico navpično navzgor. Kroglica doseže višino H = 0,90 m.
a)Kolikšna je hitrost kroglice, ko zapusti vzmet?
Na poti dolgi 5 cm od stisnjene do sproščene vzmeti si mislimo, da sila upora ni opravila nič dela. Potem je kinetična energija kroglice, ko zapusti vzmet, enaka prožnostni energiji stisnjene vzmeti. Torej:
m*v^2/2 = k*x^2/2,
v = kvadratni koren iz (200 N/m*(0,05 m)^2/0,02 kg ) = 5 m/s.
b)Koliko dela je opravila sila upora na tej poti?
S "to potjo" mora biti mišljeno gibanje navzgor do višine 0,90 m. To ni popolnoma jasno napisano, a nikakor ne more biti mišljeno gibanje med raztegovanjem vzmeti, sicer ne bi mogli izračunati hitrosti v prvem vprašanju.
Telo je potem, ko se je sprostila vzmet, imelo hitrost v = 5 m/s. Torej kinetično energijo:
W(kin) = m*v^2/2 = 0,25 J.
Pri gibanju navzgor se kinetična energija spreminja v potencialno. Če ne bi bilo zaviralnih sil (razen teže, ki jo upoštevamo v potencialni energiji), bi na največji višini, ko se telo za trenutek ustavi in je njegova kinetična energija enaka 0, imelo za toliko večjo potencialno energijo, kolikor je začetna kinetična. Izračunajmo torej za koliko se ppri gibanju navzgor telesu poveča potencialna energija:
W(pot) = m*g*H = 0,18 J.
Očitno je to manj kot pa izgubljena kinetična energija. Razlika gre na račun dela, ki ga je opravila sila zračnega upora:
A = 0,18 J - 0,25 J = - 0,07 J.
To delo je negativno, saj je sila upora nasprotna smeri gibanja telesa.
c)Kolikšna bo hitrost kroglice, tik preden se ponovno dotakne tal (vzmeti), če privzamemo, da sila upora opravi enako delo po poti navzdol, kot ga je po poti navzgor?
Podobno kakor smo pri prejšnjem vprašanju obravnavali dviganje kroglice, zdaj premislimo o padanju kroglice
Ne glede na zračni upor bo kroglica padla za 0,9 m. Pri tem se ji potencialna energija zmanjša za m*g*sprememba višine = 0,02 kg * 10 m/s^2 * 0,9 m = 0,18 J. Ja, prav toliko za koliko se ji je potencialna energija povečala pri dviganju.
Če ne bi bilo sile upora, bi kroglica na tleh imela 0,18 J kinetične energije. Zaradi dela, ki ga opravi sile upora, bo kinetična energija tik preden kroglica udari ob tla manjša od 0,18 J. Manjša bo za toliko, kolikor negativnega dela opravi sila upora. Zato:
W(kin) = 0,18 J - 0,07 J = 0,11 J.
Iz W(kin) = m*v^2/2 izračunamo še hitrost kroglice preden pade na tla:
v = kvadratni koren iz (2*W(kin)/m ) = 3,3 m/s.
3) Krogla težka m1 = 30 g s hitrostjo v1 = 150 m/s čelno trči v klado, težko m2 = 300 g, ki se giblje v nasprotni smeri s hitrostjo v2 = 20 m/s. Po trku se težja klada giblje v isto smer s hitrostjo u2 = 2,0 m/s, lažja pa se od nje odbije s hitrostjo u1= 30 m/s. Ali se pri tem trku izgubi kaj energije in če se, koliko?
Vprašanje bi moralo biti bolj natančno: Ali se pri trku izgubi kaj KINETIČNE energije? Naloga je postavljena zato, da se spomnimo, da pri računanju kinetične energije smer gibanja NI POMEMBNA!
Zato je pred trkom skupna kinetična energija enaka
m1*v1^2/2 + m2*v2^2/2 = 398 J.
Po trku pa je skupna kinetična energija enaka
m1*u1^2/2 + m2*u2^2/2 = 14 J.
Vidimo, da se je med trkom izgubilo 384 J kinetične energije. Spremenila se je v NOTRANJO energijo (= telesi sta se ob trku segreli in deformirali). Celotna energija (notranja + kinetična) se ohrani, zato pravim, da vprašanje ni bilo dovolj natančno postavljeno.
4. Odgovori na vprašanja!
a)Imamo štiri krogle. Pri prvem poskusu odletita dve v levo in dve v desno. Pri drugem poskusu odletijo vsaka v svojo smer. Mase in absolutne vrednosti hitrosti vseh krogel so enake. Ali je razlika med kinetično energijo celotnega sistema v prvem in drugem primeru in če je, kolikšna?
Ni razlike med kinetičnima energijama. V obeh primerih izračunamo kinetično energijo kot vsoto kinetičnih energij posameznih krogel. Kinetična energija telesa pa ni odvisna od smeri gibanja. Izračunamo jo kot:
W(kin) = m*v^2/2.
b)Z uporabo energijskega zakona razloži, zakaj doseže kroglica pri navpičnem metu višjo višino, kot pri poševnem metu z isto začetno hitrostjo! Privzemimo, da ni zaviralnih sil!
Ker delo, ki ga opravi teža upoštevamo v potencialni energiji, in drugih sil ni, pomeni, da se mehanska (v tem primeru vsota kinetične in potencialne energije) energija ohranja. Pozneje bomo spoznali še notranjo enegijo, ki se pa pri tem zgledu ne spremenija.
Ko vržemo kroglico navpično, bo v najvišji točki hitrost kroglice enaka 0. Vzemimo, da se pri tem dvigne za H1. Potencialna energija se ji je povečala za m*g*H1. Za enako se ji je zmanjšala kinetična energija. Začetna je bila m*v^2/2, končna (v najvišji točki) pa enaka nič. Velja torej:
m*g*H1 = m*v^2/2,
od kod sledi
H1 = v^2/(2*g)
Kako je pa pri poševnem metu? Najvišjo višino kroglice označimo s H2. Ne bo ista kakor H1. V najvišji točki kroglica NE miruje, pač pa ima vodoravno komponento hitrosti v(x), enako kakor na začetku, ko smo kroglico odvrgli. Zato je velikost spremembe kinetnične energije enaka:
m*v^2/2 - m*v(x)^2/2
in velja
m*g*H2 = m*v^2/2 - m*v(x)^2/2.
Sledi:
H2 = (v^2 - v(x)^2)/(2*g) ,
Vidimo, da je zdaj, pri poševnem metu, števec manjši za člen v(x)^2 kakor pri navpičnem metu. Pri navpičnem metu je vodoravna komponenta hitrosti enaka nič. Za vse od nič različne v(x)-e pa je H2 očitno manjši od H1.
c)Motor začne dvigovati sprva mirujoče dvigalo. Dviguje ga brez postanka do zadnjega nadstropja s hitrostjo, ki ni zanemarljiva. Do trenutka, ko dvigalo spet miruje na vrhu jaška, je motor opravil 40 kJ dela. Koliko dela je opravil motor do polovične višine? UTEMELJI!
a) 20 kJ, b) več kot 20 kJ, c) manj kot 20 kJ, d) 21 kJ.
Od začetka dviganja do polovične višine je motor moral dvigalu povečati potencialno energijo in kinetično energijo, saj je bila začetna hitrost enaka nič. Hitrost na polovični višini pa je zanesljivo večja od nič.
V drugi polovici dviganja se je potencialna energija dvigala povečala enako kakor v prvi polovici. Kinetična energija pa ne! Ta se je zdaj zmanjšala! Zato v tej polovici gibanja motor opravi manj dela.
Edini zanesljivi odgovor, ki ga upamo obkrožiti je b) "več kot 20 kJ". Odgovor d) je lahko pravilen, ampak ker nimamo dovolj podatkov, vsekakor ni nujno, da je ravno 21 kJ.
d)Po ravni cesti drvi avtomobil s konstantno hitrostjo 130 km/h. Pri tem ga poganja motor s silo 700 N. Ali motor opravi delo? Če ga, za kaj se to delo porabi?
Motorju se ne spreminja hitrost, zato se ne spreminja njegova kinetična energija. Ker se giblje po vodoravni cesti, se ne spreminja niti potencialna energija. Glede na to, da motor poganja avto s silo 700 N in se avto giblje, pa očitno motor opravlja delo. To je pozitivno delo, ki se porablja za to, da uravnovesi negativno delo, ki ga na avtomobilu opravljata trenje in sila upora.
5. Športni avtomobil z maso m = 1,3 t pospeši z 0 na v1 = 50 km/h v t = 1,3 sekunde. Nato pospeši s 50 km/h na v2 = 100km/h.
a) Koliko dela opravi motor med pospeševanjem do 50 km/h?
Tukaj moramo predpostaviti nekaj stvari: da se avtomobil giblje po vodoravni cesti (sicer bi motor opravljal delo še za spremembo potencialne energije), da zanemarimo trenje in zračni upor, saj bi tudi zaradi teh dveh sil motor (glej zadnje vprašanje pri prejšnji nalogi) moral opravljati delo. Verjetno je mišljeno, da računamo kakor, da vso delo, ki ga opravi motor, gre v kinetično energijo avtomobila.
Potem ni težko: delo motorja je enako spremembi kinetične energije. Na začetku je avtomobil pri miru, na koncu (s tem mislimo trenutek, ko doseže hitrost v1 = 50 km/h = 13.9 m/s) ima hitrost v1 in kinetično energijo W(kin1) = m*v1^2/2 = 126 kJ.
Motor med pospeševanjem do hitrosti 50 km/h opravi 126 kJ dela.
b. Koliko dela opravi motor med pospeševanjem od 50 km/h do 100 km/h?
Kinetično energijo na "začetku" (ko ima hitrost 50 km/h) smo že izračunali. Pri hitrosti v2 = 100 km/h = 27.8 m/s ima kinetično energijo m*v2^2/2 = 502 kJ.
Med pospeševanjem od 50 km/h do 100 km/h motor opravi 502 kJ - 126 kJ = 376 kJ dela.
c. Koliko joulov dela opravi na sekundo pri pospeševanju do 50 km/h?
Pri pospeševanje motor opravi v povprečju (P = A/t = 126 kJ/1,3 s = 97 kJ/s = 97 kW) 97 kJ dela na sekundo. Razmerju A/t pravimo povrečna moč motorja.
d. Če tudi pri pospeševanju od 50 km/h do 100 km/h opravi enako joulov dela na sekundo, koliko časa bo potreboval za to pospeševanje?
Iz P = A/t sledi:
t = A/P = 376 kJ/(97 kJ/s) = 3,9 s.
