| Gimnazija, Naloge/Vprasanja |
Nekaj nalog iz trkov (gibalna količina in kinetična energija), ki so jih dijaki z gimnazij dobili za domačo nalogo
Kolikšni sta hitrosti prožnih krogel po trku, če se večja krogla(2kg) zaleti v manjšo(1kg). Hitrost večje korgle je 10 m/s, hitrost manjše krogle pa 0 m/s.
Pri prožnem trku se ohranjta skupna kinetična energija in gibalna količina.
Oznacimo m_1 = 2\,kg, m_2 = 1\,kg, a = m_1/m_2 = 2
(da bo pozneje manj pisanja), v_0 = 10\,m/s in v_1, v_2
hitrosti krogel po trku. Hitrosti v_1 in v_2 iščemo.
Ohranitev kinetične energije nam da enačbo:
{m_1\, v_0^2 \over 2} = {m_1\, v_1^2\over 2} + {m_2\, v_2^2\over 2}.
Ohranitev gibalne količine nam da enačbo
m_1\, v_0 = m_1\, v_1 + m_2 \,v_2.
Prvo enačbo množimo z 2, delimo z m_2. Drugo delimo z m_2. Dobimo:
a\, v_0^2 = a\, v_1^2 + v_2^2 in
a\, v_0 = a\, v_1 + v_2.
Iz druge enačbe izrazimo v_2 = a\,(v_0-v_1) in nesemo v prvo enačbo.
Dobimo kvadratno enačbo, z rešitvijo v_1 = {1\over 3}\, v_0 = 3,33\,m/s in nesmiselno (kakor, da krogli ne bi trčili) rešitvijo v_1 = v_0 in v_2 = 0.
Potem iz v_2 = a\,(v_0-v_1) = 13,33\,m/s izračunamo še hitrost v_2.
Nazadnje še preverimo ali smo prav izračunali. V začetni enačbi:
{m_1\, v_0^2 \over 2} = {m_1\, v_1^2\over 2} + {m_2\, v_2^2\over 2} in
m_1\, v_0 = m_1\, v_1 + m_2 \,v_2
vstavimo izračunane vrednosti in se prepričamo, da je v obeh primerih leva stran enaka desni.
Krogla z maso 20 kg in hitrostjo 50 m/s prebije 5 cm debelo desko in jo zapusti na drugi strani s hitrostjo 20 m/s. Koliko dela prejme deska? Kolikšna je zaviralna sila na kroglo v deski?
Pred trkom v desko ima krogla kinetično energijo {m\,v^2\over 2} = 25000\,J.
Po trku ima krogla kineticno energijo
{m\, v^2\over 2} = 4000\,J.
Izgubilo se je 21000 J energije. Nekaj te energije je prijela tudi krogla, ki se pri takem trku deformira in segreje.
Kar pa naloga nič ne pravi kolikšen del izgubljene kinetične energije prejme krogla, si mislimo, da krogla NE prejme nič izgubljene kinetične energije.
Torej je vso razliko, to je 21000 J prejela deska kakor delo.
Pri poti x = 0,05\,m skozi desko, je bila v povprečju zaviralna sila enaka:
F = A/x = 420\,kN.
Prožna kilogramska krogla se s hitrostjo 10 m/s zaleti v neprožno 2 kg mirujočo kroglo. Kolikšna je hitrost krogel po trku in koliko odstotkov kinetične energije se ohrani?
Očitno je mišljeno (sicer bi rabili še kak podatek), da se krogli po trku sprimeta.
Ohranitev gibalne količine pravi, da je gibalna količina krogel na začetku enaka
gibalni količini krogel po trku.
Na začetku (torej pred trkom) se giblje le kilogramska krogla in ima gibalno
količino enako
G_1 = m_1\,v_1 = 10\,kg m/s.
Po trku se krogli (sprijeti) gibljeta s hitrostjo v, ki je še ne poznamo.
Imata skupno gibalno količino G_2 = (m_1+m_2)\, v, ki mora biti enaka G_1.
Sledi v = {G_1\over m_1+m_2} = 3,33\,m/s.
Še o kinetičnih enegijah.
Pred trkom ima kinetično energijo le kilogramska krogla:
W_{k1} = {m_1\, v_1^2\over 2} = 50\,J.
Po trku se gibljeta obe krogli z isto hitrostjo in imata skupaj kinetično energijo
W_{k2} = {m_1\, v^2\over 2} + {m_2 v^2\over 2} = {(m_1+m_2)\,v^2\over 2} = 16,7\,J.
Ohranilo se je torej 16,7 J kinetične energije. V odstotikih je to:
16.7 J/50 J = 0.333 = 33.3 %.
